Normalerweise sollte der Controller immer automatisch die entsprechende Bluetooth-MAC Adresse des jeweiligen Empfängers (Bluetooth-Stick bzw. internes Bluetooth vom Pi3 und/oder PS3-Konsole) übernehmen, sobald man den Controller per USB-Kabel für ca. 10 Sekunden mit dem jeweiligen Gerät verbindet.
Warum dein Controller das mit dem Pi3 immer nur dann macht, nachdem du ihn per Reset-Knopf auf der Rückseite zurückgesetzt hast, weiß ich nicht.
Alternativ könntest du dir die Bluetooth-MAC Adressen der jeweiligen Geräte (Bluetooth-Dongle bzw. Pi3 intern und PS3-Konsole) auf dem PC speichern und dann per Sixaxis-Pair Tool über den PC die Bluetooth-MAC Adresse des Controllers anpassen.
Aber das ist halt auch ein zusätzlicher Aufwand (PC anwerfen, Controller per USB verbinden, Sixaxis Pair Tool öffnen, Bluetooth MAC Adresse ins Tool reinkopieren).
Also am einfachsten ist es, du nutzt für Pi und PS3 jeweils einen eigenen PS3-Controller.